| |
Плоские геометрические фигуры занимают одно из центральных мест в курсе геометрии 7-9 классов.
Традиционная схема их изучения – определение фигуры, формулировка и доказательство ее свойств и признаков. После того, как изучены все виды треугольников и четырехугольников, приступают
к получению формул для нахождения их площади. При таком обучении ведущая роль принадлежит, как правило, учителю, оставляя на долю учащихся лишь репродуктивную деятельность [1]. Мы предлагаем несколько иной подход в изучении данного материала, который используем в нашей работе уже более 7 лет. За основу
принимаем экспериментальные материалы для учителя и ученика «Тригонометрия» [2] и пособия серии «Визуальная геометрия» [3].
Такие фигуры как квадрат, прямоугольник и треугольник известны детям из начальной школы.
Независимо от того, по какой программе шло обучение: традиционной, «занковской» или по программе Петерсон, учащиеся
владеют определениями этих фигур;
умеют обозначать их вершины;
знают свойство противоположных сторон прямоугольника;
вычисляют площадь прямоугольника и квадрата по заданным длинам их сторон.
На отработку этих умений, отводится достаточно времени в начальной школе.
К тому же все это повторяют в 5 классе. Затем в 6-7 классах продолжают изучать треугольники.
Поэтому в 8 классе можно ограничиться лишь повторением уже известных фактов, что и делает автор пособия [3]:
– используя разбиение прямоугольника на равные прямоугольные треугольники
(попутно идет повторение признаков равенства треугольников), получить формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника.
Идея разбиения положена далее
в основу получения формулы для нахождения площади остроугольного и тупоугольного треугольников.
Заостряется внимание
на равновеликих треугольниках, их отличиях от равных треугольников.
В конечном итоге становится очевидной теорема о том,
что медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Теперь, когда о треугольнике знаем все, эта фигура становится центральной.
– вводя понятие трапеции и ее площади параллельно познакомиться со средними линиями треугольника и трапеции;
– затем изучить параллелограмм и его свойства,
еще раз обратившись к прямоугольнику и квадрату. Подробней остановившись на их свойствах; перейти к определению и свойствам ромба.
Далее вывести формулу для вычисления площади параллелограмма.
Рассмотреть формулу площади ромба через его диагонали, в выводе которой опираться на формулу площади треугольника.
Что дает такая перестройка учебного материала? Несмотря на то, что объем теоретического материала велик, знакомство с ним происходит с опорой на знания,
полученные до 8 класса школы. Нет страха перед неизвестным. После изучения темы учащиеся имеют полное представление о четырехугольниках и нахождении их площадей.
Ниже мы предлагаем описание двухчасового урока по теме: «Трапеция и ее площадь».
Цель первой части урока – ввести понятие трапеции, познакомиться с видами трапеций, изучить их свойства. Перед началом урока каждый из учеников получил комплект визуальных материалов, в котором можно работать простым карандашом,
не боясь при этом допустить ошибки.
На первом этапе урока знакомимся с внешним видом трапеции. Для этого в течение нескольких минут рассматриваем
информационную страницу (рис. 1).
Далее идет обсуждение содержания страницы: увидели четырехугольник.
– Для чего нарисованы человечки? Они что-то составляют, собирают. Так, может, и данный четырехугольник можно составить? Из чего?
Ответ еще раз находим на рисунках – из прямоугольника и треугольников.
– Какими должны быть треугольники, как вы думаете?
Выслушиваются и обсуждаются все мнения, выбирается один вариант – треугольники должны быть обязательно прямоугольными.
– Как составляются треугольники и прямоугольник?
Так, чтобы сторона прямоугольника совпадала с катетом каждого из треугольников.
– Что вы знаете о противоположных сторонах прямоугольника?
– Значит, и в данном четырехугольнике будут параллельные стороны?
– Сколько их?
– Как они называются?
– Как называются две другие стороны?
А теперь, глядя на эту страничку (это подсказка), пробуем дать полное определение трапеции (рис. 1).
Не сразу получается, но все же приходим
к правильной формулировке: трапеция – это четырехугольник, имеющий одну пару параллельных сторон.
И теперь без заминки выполняем задание №2 (рис. 2).
Задание №3 (рис. 3) тоже не вызвало затруднений,
так как предварительно обговорили как дети понимают условие: соответственно равные стороны и равные фигуры.
Переходим ко второй информационной странице (рис. 4). Рассматриваем рисунок.
Что увидели? (Трапеции).
Они чем-то отличаются друг от друга?
(Многие заметили: что в зависимости от вида треугольника можно дать «параллельное» название трапеции).
Обращаем внимание на равнобедренную трапецию
Обсуждаем: есть ли у равнобедренной трапеции кроме равных боковых сторон и другие равные элементы?
Вспоминаем признаки равенства прямоугольных треугольников и приходим к выводу: углы при каждом из оснований равнобедренной трапеции равны.
Предлагаем ученикам прямо на рисунке второй информационной страницы (рис. 4) провести диагонали такой трапеции.
Почти мгновенно звучит ответ с места: «Они равны!». Для обоснования ответа вспомнили признаки равенства треугольников.
Определение равнобедренной трапеции известно. Теперь пробуем её строить (рис. 5).
Во всех примерах серии 5 (рис. 5) есть точки, в которых одна из координат равна нулю.
Построение их обычно вызывает определенные трудности.
Эти задания выполняем на доске, решение проверяем и комментируем всем классом. 4-е задания этих серий предлагаются на дом.
После этого в парах работаем над тестом 6 (рис. 6). И сразу же с места слышится недоуменный вопрос: разве может быть равнобедренная трапеция прямоугольной?
Получив похвалу за догадку, решаем искать ответы для равнобедренной трапеции только в столбике «непрямоугольная». Для неравнобедренной трапеции подходят оба варианта.
Выполняем тренажер №7 (рис. 7) самостоятельно с последующей проверкой.
Переходим к серии №8-а (рис. 8, слева).
Ответы проверяем с помощью рисунков, выполненных на обратной стороне классной доски.
Ребята работают в свободном темпе, учитель имеет возможность помочь слабым.
Серия №8-б предлагается в качестве домашнего задания (рис. 8, справа).
Еще раз подводим итоги и повторяем, что нового узнали:
определение трапеции,
названия сторон,
виды трапеций,
свойства равнобедренной трапеции.
В конце первого урока предложено выполнить задачи сюжета «Прямоугольные трапеции» (рис. 9).
За перемену работа проверяется и оценивается.
Заключительная беседа на уроке и полученные оценки за самостоятельную работу позволяют судить о том, что дети усвоили новый материал и можно продвигаться дальше.
На втором уроке необходимо вывести формулу для вычисления площади трапеции, закрепить полученные знания в процессе решения задач.
Обращаемся к информационной странице «Трапеции и их площади» (рис. 10).
Ищем пропущенные формулы, отвечая на вопросы:
– Какая идея лежит в основе доказательства теоремы?
Разбиение фигуры на части и нахождение суммы площадей этих частей);
– Достаточно ли элементов отмечено на чертеже?
Приходим к выводу, что для нахождения площади каждой из частей нужна высота (отмечаем ее на чертеже).
Дети самостоятельно находят площадь каждой части трапеции и их сумму.
Вновь обращаемся к левому рисунку страницы, так как многим непонятен конечный результат формулы. Он помогает: видно, что a+y+x=b и 2a=a+a.
Итак, формула площади трапеции S=(a+b)/2 *h получена. Еще раз акцентируем внимание,
что для получения площади трапеции необходимо знать длины оснований a и b и высоту h.
Основная работа выполнена, формула получена, теперь нужно научиться применять эту формулу к решению задач.
Выполняем задание «Выберите ответ» (рис. 11).
Затем разбираем «Пример» (рис. 12).
Составляем формулу площади трапеции, используя данные S=(x+2x)/2*x, и только потом находим x. Ищем ответы на вопросы:
– сколько корней имеет уравнение 6=(3x2)/2?
– какой из них удовлетворяет условию задачи?
Таким образом, мы осуществляем пропедевтику алгебраического материала, так как квадратные уравнения по нашему планированию в этот период еще не изучаются.
При работе с тренажером №13 (рис. 13) идет отработка умения работы с формулой.
Задание несложное, хотя последний пример вызвал у многих недоумение, отразившееся на лицах: какие отрезки принимать за основание, какой за высоту?
Пришлось еще раз вспомнить определение.
Серию №14 (рис. 14) выполнили на отдельных листочках на оценку, в квадратики записывали только ответы. После проверки ответов выставляется предварительная оценка,
которая корректируется после ответов на вопросы по допущенным ошибкам. И опять в последнем задании ребят ждал подвох: в данной трапеции посчитать по клеточкам высоту невозможно.
В заключении выполняем серию №15 (рис. 15). Предварительно обсуждаем условие:
если заданы площадь и высота, что можно найти? Сумму оснований.
Если заданы три вершины, то две из них обязательно определят одно основание. Назовите какое?
Вычислите другое.
Постройте трапецию.
В конце второго урока подводим итоги.
В результате выполненной работы мы получили полное представление о новом виде четырехугольников - трапеции, узнали ее свойства и научились вычислять площадь.
Каждый учащийся получил за урок две оценки. При этом все ученики класса являлись активными первооткрывателями новых знаний.
Скачать комплект
визуальных дидактических материалов по теме данной статьи.
Предлагаемые комплекты дидактических материалов на экране отражаются не совсем точно,
но распечатываются рисунки прекрасно!
Литература
- Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. /Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 335 с.
- Резник Н.А. Тригонометрия. Экспериментальные материалы для учителя и ученика: Учеб. пособие
для учащихся 8-9 кл. морского лицея и сред. школ.– В 2 ч. – Мурманск, 1993. – Ч.1, 116 с.
- Резник Н.А. Визуальная геометрия «Треугольник и его элементы»: Сборник визуальных
дидактических материалов для учителя и ученика (6-7 классы). – СПб, Изд-во
«Информатизация образования», 2000. – 22 с.
Уважаемые коллеги!
Мы с благодарностью примем
ваши замечания и предложения.
Наталья Резник (nareznik@yandex.ru),
Наталия Ежова (naegova@yandex.ru)
|
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
